Geometria
Kör és részei
Körvonal: Adott ponttól (K) adott távolságra (r) lévő pontok halmaza a síkban.
Húr: A körvonal bármely két pontját összekötő szakasz.
Érintő: Az az egyenes, amelynek a körrel egy közös pontja van. Merőleges az érintési pontba húzott sugárra.
Átmérő: D = 2r. A kör leghosszabb húrja.
Szelő: Az az egyenes, amelynek a körrel két közös pontja van.
1° a kör 1/360-ad része.
Egy radián annak a középponti szögnek a nagysága, amely egy r sugarú körben r hosszúságú ívet metsz ki.
Kör kerülete: 2rπ, Területe: r2π
Középponti szög: Minden olyan szöget, amelynek csúcsa a kör középpontja, szárai pedig a kör 1-1 sugara, középponti szögnek nevezzük.
α szöghöz tartozó körív az iα.
α ívhossz úgy aránylik ß ívhosszhoz, mint α szög a ß szöghöz.: iα/iß = α/ß
Kerületi szög: Minden olyan szöget, amelynek csúcsa egy adott kör kerületén található, szárai pedig a kör 1-1 húrja, kerületi szögnek nevezzük.
Ugyanahhoz a körívhez tartozó kerületi szögek nagysága egyenlő.
Adott körben ugyanahhoz az ívhez tartozó középponti szög mindig kétszer akkora, mint az ívhez tartozó kerületi szög.: ω=2φ
(+ Ha egy derékszögű háromszög egyik szöge 30°-os, akkor a vele szemközti befogó fele az átfogónak.)
Négyszögek
Minden olyan konvex négyszöget, amelynek oldalai egy adott kör húrjai, húrnégyszögnek nevezzük.
Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°.
Minden olyan konvex négyszöget, amelynek oldalai egy adott kör érintői, érintőnégyszögnek nevezzük.
Egy konvex négyszög akkor és csak akkor lehet érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege állandó.
Segédtétel: Egy körhöz külső pontból húzott érintő szakaszok hossza egyenlő.
Párhuzamos szelők tétele
Ha egy szögtartomány szárait párhuzamosokkal metsszük el, akkor a szögszárakon létrejövő szakaszok aránya egymással egyenlő.
Párhuzamos szelőszakaszok tétele
Ha egy szögtartomány szárait párhuzamosokkal metsszük el, akkor a párhuzamosokon létrejövő szakaszok aránya egyenlő az egyik szögszáron az általuk kimetszett szakaszok arányával.
Középpontos hasonlósági transzformáció
λ eleme R \ {0}
- ha P=O=P
- ha P=(áthúzva)0
OP' szakasz = abszolút jelben λ x OP szakasz
ha λ > 0, akkor P' OP szakasz P-n túli részére kerül
ha λ < 0, akkor P' OP szakasz O-n túli részére esik
λ = 1, akkor ez a transzformáció helybenhagyja a síkidomot
λ = -1, akkor O-n túlra kerül, középpontos tükrözés
λ = abszolutértékben nagyobb, mint 1, akkor nagyítás, ha kisebb, mint 1, akkor kicsinyítés.
A transzformáció elvégzése után olyan síkidomot kapunk, amelynek szögei az eredeti síkidoméval megegyezők, oldalai az arányszámnak megfelelően változnak.
Minden λ értéknél a körüljárás iránya változatlan.
Ha egy síkidomon egy középpontos hasonlósági transzformációt (kicsinyítés, nagyítás) hajtunk végre, és egy egybevágósági transzformációt (tengelyes tükrözés, forgatás, eltolás), akkor azt mondjuk, hogy egy hasonlósági transzformációt szerkesztettünk.
Ha 2 síkidom esetében megadható egy olyan hasonlósági transzformáció, amellyel egyik síkidom a másikba vihető át, akkor a két síkidomot hasonlónak nevezzük.
Hasonlósági alapesetek:
- Ha két háromszög szögei páronként egyenlők, akkor a két háromszöget hasonlónak nevezzük.
- Ha a két háromszög oldalainak aránya egyenlő, akkor a két háromszöget hasonlónak nevezzük.
- Ha két háromszög 2-2 oldalának aránya megegyezik, és az általuk közbezárt szög egyenlő, akkor a két háromszöget hasonlónak nevezzük.
- Ha két háromszög 2-2 oldalának aránya megegyezik, és a hosszabbik oldallal szemközti szögek egyenlők, akkor a két háromszöget hasonlónak nevezzük.
Hasonló háromszögek kerületének aránya megegyezik a középpontos hasonlósági transzformáció arányával.
Hasonló testek térfogatainak aránya a hasonlósági arányszám köbével lesz egyenlő.
V'/V = λ3 A'/A = λ2
Derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének.: mc = √pq
Befogó tétel: Derékszögű háromszög befogója mértani közepe a befogó átfogóra eső vetületének és az átfogónak.
Középvonal, súlyvonal
A középvonalak a háromszög oldalfelezési pontjaiból húzott szakaszok. Ezek párhuzamosak a velük szemközti oldallal, és feleakkorák.
A súlyvonal az oldalfelezési pontot a szemközti csúccsal összekötő egyenes, mindig három van.
A súlypont a súlyvonalat 2:1 arányban osztja úgy, hogy a csúcs felől van két egység, az oldal felől egy egység.
Trigonometria
sinα = a szöggel szemközti befogó/az átfogó
cosα = a szög melletti befogó/az átfogó
tgα = a szöggel szemközti befogó/a szög melletti befogó
ctgα = a szög melletti befogó/a szöggel szemközti befogó
megjegyzés: tgα = 1/ctgα
Egy szög sin-a mindig megegyezik a kiegészítő szögének cos-ával. (pl cos38°= sin52°)
sin2α + cos2α = 1
tgα = 1/ctgα
sinα/cosα = tgα
ctgα = cos/sinα
Trigonometrikus területképlet
Akkor használjuk területszámításra, ha a háromszög két oldala és az általuk közbezárt szög nagysága ismert.
T/\ = a x ma/2 = a x b x sinɣ/2
sinɣ = ma/b
b x sinɣ = ma
A háromszögbe írható kör középpontja a szögfelezők metszéspontja.
Ha adott egy oldal, és a vele szemközti szög, akkor kiszámíthatjuk a háromszög köré írható kör sugarának hosszát.
sinα = a/2 / r
-> 2rsin α = a
Trigonometrikus összefüggések térgeometriai számításoknál
- egyenes és sík hajlásszögén az egyenes síkra eső merőleges vetületének és az egyenesnek egymással bezárt szögét értjük.
- két sík hajlásszögén két sík metszésvonalának valamely pontjára állított merőlegesek által bezárt szöget értjük.
Hatvány, gyök, logaritmus
Egy pozitív valós szám p/q-adik hatványán a szám p-edik hatványának q-adik gyökét értjük.
